在数列{an]中,S(n+1)=p*Sn+q(p、q>0),且S1=1,S2=3,S4=15

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 17:29:25
在数列{an]中,S(n+1)=p*Sn+q(p、q>0),且S1=1,S2=3,S4=15
(1)求p,q的值
（2）求a2，a3，a4
（3）猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明
急！！！！！！！！！！！！！！！！

1：
S1=1;
S2=p*S1+q=p+q=3;----(1)
S3=p*S2+q=3p+q;
S4=p*S3+q=p(3p+q)+q=3p^2+pq+q=15-----(2);
(1)(2)联立解方程得：p=2 q=1;(负值舍去）；
2：
a1=S1=1;
a1+a2=S2=3; ==>a2=2;
a1+a2+a3=S3=3p+q=7;a3=4;
a4=S4-S3=15-7=8;
3:
我猜我猜我猜猜：
是an=2^(n-1)
证明：
当n=1时a1=2^0=1;对了！‘
假设当n=2----k时也对；a2=a^1....ak=2^(k-1);
Sk=1+2+;...+2^(k-1)=2^k-1
当n=k+1时；
a(k+1)=S(k+1)-Sk=2Sk+1-Sk=Sk+1=2^k-1+1=2^k=2^(k+1-1)
好像也对了也！
证毕

S2 = p*S1+q = 3
S4= p*S3+q = p*(p*S2+q)+q =15
==>
p+q=3
3*p^2+pq+q =15
(p、q>0)
==>
p=2,q=1

(2) a2 = S2-S1 = 2
S3 = p*S2+q =7
a3 = S3-S2 = 4
a4 = S4-S3 = 8

(3) 猜想：an=2^(n-1)
证明：
Sn = 2^n-1
S(n+1)=2^(n+1)-1 = 2*(2^n -1)+1
= p*Sn +q
符合已知条件，故成立